Distance entre deux droites

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

On considère la droite \(D​​\)  passant par le point  \(\text A\) de coordonnées \((-4~;~3~;~1)\)  et dont un vecteur directeur est \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix}\) .
On considère la droite \(D'\)  dont une représentation paramétrique est : \(\begin{cases}x=3-t\\y=-2+t & ,\,t\in\mathbb{R}\\z=t\end{cases}\)

On admet qu’il existe une unique droite  \(\Delta\) perpendiculaire aux droites  \(D​​\) et \(D​​'\) . On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite  \(\Delta\) et de calculer la distance entre les droites   \(D​​\)  et \(D​​'\) , distance qui sera définie à la question 5.

On note  \(\text H\) le point d’intersection des droites  \(D​​\) et  \(\Delta\) ,  \(\text H'\) le point d’intersection des droites  \(D'\) et \(\Delta\) . On appelle  \(P\) le plan contenant la droite  \(D​​\) et la droite  \(\Delta\) . On admet que le plan  \(P\) et la droite  \(D​​'\) sont sécants en \(H'\) . Une figure est donnée ci-dessous.

1. On considère le vecteur \(\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)\) . Démontrer que \(\overrightarrow{w}\)  est un vecteur directeur de la droite  \(\Delta\) .
2. Soit \(\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}2\\3\\3\end{array}\right)\) .
    a. Démontrer que le vecteur \(\overrightarrow{n}\)  est normal au plan \(P\) .
    b. Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est \(2x+3y+3z-4=0\) .

3. a. Démontrer que  \(\text H'\) a pour coordonnées \((2~;-1~;~1)\) .
    b. En déduire une représentation paramétrique de la droite  \(\Delta\) .

4. a. Déterminer les coordonnées de \(\text H\) .
    b. Calculer la longueur   \(\text {HH'}\) .

5. L'objectif de cette question est de montrer que, pour tout point  \(\text M\) appartenant à  \(D\) et tout point  \(\text M'\) appartenant à \(D'\) , \(\text {MM'}\geqslant\text {HH'}\) .
    a. Montrer que \(\overrightarrow{\text {MM'}}\)  peut s'écrire comme la somme de \(\overrightarrow{\text {HH'}}\)  et d'un vecteur \(\overrightarrow{v}\) , orthogonal à \(\overrightarrow{\text {HH'}}\) .
    b. En déduire que  \(\left\Vert \overrightarrow{\text {MM'}}\right\Vert ^{2}\geqslant\left\Vert \overrightarrow{\text {HH'}}\right\Vert ^{2}\) et conclure.

\(\text {HH'}\)  est appelée distance entre les droites  \(D\) et \(D'\) .